\subsection{分部积分法}

	\begin{ti}
		求 $\int_{0}^{1} \ln \bigl( x + \sqrt{x^{2} + 3} \bigr) \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		$\int \frac{x \ln ( x + \sqrt{1 + x^{2}} )}{\left( 1 + x^{2} \right)^{2}} \dd{x} = $\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		$\int \frac{x \ln x}{\left( x^{2} - 1 \right)^{\frac{3}{2}}} \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $\int_{-\frac{\uppi}{4}}^{\frac{\uppi}{4}} 5 \cos x \cdot \arctan \ee^{x} \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $\int x \arctan x \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $\int_{0}^{+\infty} \frac{x \ee^{-3x}}{\left( 1 + \ee^{-3x} \right)^{2}} \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $\int_{0}^{1} x \ln (1 - x) \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f\bigl( \sin^{2}x \bigr) = \frac{x}{\sin x}$，求 $\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{1 - x}} f(x) \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知 $f(x) = \frac{\ee^{x} + \ee^{-x}}{2}$，求 $\int \Bigl[ \frac{f'(x)}{f(x)} + \frac{f(x)}{f'(x)} \Bigr] \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知 $\int_{0}^{1} f(x) \dd{x} = 1$，$f(1) = 0$，则 $\int_{0}^{1} x f'(x) \dd{x} = $
		
		\noindent\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		已知 $f(x)$ 的一个原函数为 $(1 + \sin x) \ln x$，求 $\int x f'(x) \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $\frac{\ln x}{x}$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则 $\int_{1}^{\ee} x f'(x) \dd{x} = $
		
		\noindent\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x)$ 有一个原函数 $\frac{\sin x}{x}$，则 $\int_{\frac{\uppi}{2}}^{\uppi} x^{3} f'(x) \dd{x} = $
		
		\noindent\htwo.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x) = \lim_{t \to \infty} t^{2} \sin \frac{x}{t} \cdot \bigl[ g\bigl( 2x + \frac{1}{t} \bigr) - g(2x) \bigr]$，$g(x)$ 的一个原函数为 $\ln(x + 1)$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x)$ 的一个原函数 $F(x) = \ln^{2}\bigl( x + \sqrt{1 + x^{2}} \bigr)$，求 $\int x f'(x) \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		求 $I = \int_{0}^{1} \frac{f(x)}{\sqrt{x}} \dd{x}$，其中 $f(x) = \int_{1}^{\sqrt{x}} \ee^{-t^{2}} \dd{t}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $f(x) = \int_{0}^{x} \ee^{-t^{2} + 2t} \dd{t}$，求 $\int_{0}^{1} (x - 1)^{2} f(x) \dd{x}$.
	\end{ti}

	\begin{ti}
		设 $y'(x) = \arctan (x - 1)^{2}$，且 $y(0) = 0$，求
		\[
			\int_{0}^{1} y(x) \dd{x}.
		\]
	\end{ti}